使用 COMSOL Multiphysics? 模擬 COVID-19 的傳播

2020年 4月 7日

地球上的所有生命都通過兩個密切相關的大分子進行編碼:核糖核酸(RNA)或脫氧核糖核酸(DNA)。某種意義上,我們可以說地球上只有一種生命形式。

病毒介于生命體和非生命體之間。它們具有 RNA 或 DNA,但不能自我復制,也不能在另一個活細胞外繁殖。

為了繁殖,病毒必須與活細胞接觸,它必須適合宿主細胞的受體,并且必須打開宿主細胞的膜。然后,病毒可以注入其 RNA 或 DNA 并劫持宿主細胞的新陳代謝,以產生新的病毒粒子。

由于病毒粒子在活細胞外存活的能力非常有限,因此其傳播的主要機制是通過活生物體之間的接觸。如 SARS-CoV-2(導致新型冠狀肺炎爆發的病毒,COVID-19),它必須在人與人之間直接或間接傳播。世界衛生組織(WHO)已將 COVID-19 列為大流行病。

我們有可能了解大流行的進程嗎?有多少人會被感染?有多少人會死亡?下面,讓我們看看預測 COVID-19 傳播的數學模型是什么樣的。

COVID-19 的數學模型

所謂的 SEIR 模型是可以合理預測傳染病在人與人之間傳播的一種簡單模型,該模型于 1920 左右首次公開發表(參考文獻1 )。此模型將受傳染病影響的人群分為四類,分別用相應變量來描述每類人群的數目。

S?=易感者

E?=潛伏者

I?=感染者

R?=康復并具有免疫力的人

SEIR模型的示意圖,這是人與人之間疾病傳播的合理可預測的隔離模型。
區間模型:個體以速率 β 從 S 流向區間 E ,以速率 ε 從 E 流向 I,以速率 γ 從 I 流向 R,還可以速率 α 從 I 流向 D(死亡)。這里假定 R 中的個體是免疫的,并且在模型計算時不會返回 S 。新生兒的流入量用 λ 表示,自然死亡率用 μ 表示。

變量 S,E,I 和 R 的單位為個體的數量。當易感者以某種形式接觸了感染者,可能會成為潛伏者。成為潛伏者的概率,與人群中感染者的占比與易感者總數的乘積相關。經過簡單的推導,易感人群被傳染的速率為:

(1)

\[{r_{nE}} = \frac{\beta }{N}SI\]

其中 β 是傳染率。

β(單位:1人 /天)與基本傳染數 R?0和感染者具有傳染性的平均天數(在被隔離或自我隔離之前)有關,nid

(2)

\[\beta = \frac{{{R_0}}}{{{n_{id}}}}\]

R?0??稱為基本傳染數(無量綱),它描述了感染者在康復之前與易感人的每次接觸(當人群中完全沒有免疫力時)的疾病傳播。任何緩解或隔離措施都旨在通過減少傳染率 β 或及時隔離感染者,來降低傳染數。

對于較短的(非季節性)流行病模擬,我們可以假設自然死亡和出生處于平衡的恒定人口。然后,隨著新暴露病例的增加,易感個體的數量減少,其中 N 表示人口規模:

(3)

\[\frac{{dS}}{{dt}} = – \frac{\beta }{N}SI\]

相應地,上述方程式右側的項是方程式中潛伏者 E 的源項。但是,為描述從潛伏者轉變為感染者的過程 E ,該方程式也具有負項。

(4)

\[\frac{{dE}}{{dt}} = \frac{\beta }{N}SI – \varepsilon E\]

此處,ε 表示一旦暴露就發展成傳染性的速率,以 1 人/天為單位。該速率與潛伏期的長短成反比。

感染者的數量 I ,每天隨著 ε? ? 的增加而增加,但隨著個體被隔離,康復個體或死亡個體的速度逐漸減少。系數 γ 表示人們被隔離或康復的比率。感染率與感染的天數成反比:

(5)

\[\gamma = \frac{1}{{{n_{id}}}}\]

對于因感染病毒而死亡的比率 α I 的比率和感染變量 I ,還可以用以下方程表示:

(6)

\[\frac{{dI}}{{dt}} = \varepsilon E – \gamma I – \alpha I\]

對于變量R,可以用下列方程表示不再受感染的個體:

(7)

\[\frac{{dR}}{{dt}} = \gamma I\]

對于死亡人數 D ,可以用下列方程表示:

(8)

\[\frac{{dD}}{{dt}} = \alpha I\]

展平曲線

我們可以從一個簡單的模型開始,其中不考慮潛伏者。即,易感者遇到感染者,不經過潛伏者,直接被感染。在我們的模型中,這將對應于非常大的 ε 值。然后,我們可以將其與 Michael H?hle 的博客文章進行比較,因為他已經求解了相同的數學模型(參考文獻2)。輸入數據如下:

N?= 100 萬個人

R?0?= 2.25,基本傳染數

??ID?=5 天

最后,我們需要初始條件:

S?0??=?N?–??I?0,易感人群

I?0??= 10 個感染者

在第一種情況下,H?hle 進行了模擬。在該模擬中,流行病得以繼續發展而不采取社交限制措施。在第二種情況下,H?hle 假設在有 100 萬人的城市中,當局采取了減少有效傳染數的行動,例如,不允許進行大型人群聚會(舉辦體育賽事、音樂會等)。第一步是在疾病流行 28 天后,通過限制社交互動,將有效傳染數減少到 1.35。當限制措施持續 5 周后,放松限制,有效傳染數升高到1.8。下圖顯示了兩種情況:情況1(不限制社交)和情況2(R?0 減少))。我們可以看到模擬結果與H?hle的結果非常吻合。

該圖比較了兩種疾病傳播情況,一種情況的人口遵循社會隔離準則,另一種則沒有社會隔離。
此處獲得的結果與 H?hle 的結果非常吻合。在第 28 天采取社交限制措施后,新病例(綠色曲線)突然減少,當限制措施放松后,綠色曲線突然躍升。

根據第二種情況,H?hle 得出一個有趣的結論,為減少新增病例而采取的社交限制措施不僅減少了傳染病流行期間新增病例的數量,而且還減少了整個流行病期間的感染者總數。 結果如下圖所示。在第一種情況下,整個流行病期間被感染的人口比例為 85%,而在第二種情況下,這一比例僅為 68%。因此,采取社交限制措施不僅??可以暫時減輕醫療保健系統的負擔,而且還可以減少流行病患者的總數。

該圖比較了正在采取社會疏遠措施的人群和未采取措施的人群中的感染率。
如果不采取任何措施,則被感染的人群比例為85%,這可以從恢復曲線中看到(紅色,實心)。在采取措施的情況下,有68%被感染(紅色,虛線)。

考慮不同人群分布的流行病發展過程計算

對于湖北,瑞典和美國,我們可以使用稍微更高級的模型,即所謂的Erlang–SEIR模型(參考文獻3)。通過將 E I 人群劃分為子類,每個子類中個體的停留時間假設遵循 Erlang 分布,并且指定的平均停留時間與子隔間數 k?Ek?I 成正比,與子隔間 ε 和 γ 的傳輸速率成反比。該模型可以說明以下事實:不同子類之間的流量存在特定分布,例如,由于潛伏者在該國不同地區的不同時間進入,增加子類的數量會使分布集中在均值周圍,實際上延緩了從 EI 以及從 IRD 的進程。

Erlang-SEIR模型的示意圖,用于預測傳染?。ɡ鏑OVID-19)的傳播。
具有 E 和 I 子隔間的 Erlang–SEIR 模型。

COVID-19在中國湖北的傳播模擬

假設死亡率為0.66%(參考文獻4),感染者平均在第3天被隔離,從癥狀發作到死亡的平均時間為18天,我們就可以適應流行病的開始、傳播,以及在Erlang分布中暴露狀態下從湖北報告的數據的平均時間。

2019年1月22日,當局實施了封鎖措施,并在該月底進行了測量,結果顯示基本傳染數明顯下降(參考文獻5) 。

如果我們實施這樣的封鎖措施,并且如果我們將該限制措施的影響在1月23日開始生效,我們將獲得以下結果。

該圖將湖北省模擬的 COVID-19 死亡人數與參考數據進行了比較。
該圖為 COVID-19 死亡人數建模數據與湖北報道數據的比較。我們可以看到該模型與數據非常吻合,僅有 0.5~1 天的微小偏移。這個偏移可能來自于數據是以每日來統計的。小圖以對數標度顯示?y?的相同數據。

從上面的圖表中可以看出,到2月2日,累積死亡人數呈對數圖中的線性增長,直到大約400人死亡。2月3日之后,死亡人數的增長速度下降,因此增長不再是指數級的。這主要源于社交限制的措施。在這一階段尚未發現具有免疫力病例的影響,這也將降低 COVID-19 的有效傳染數。

下圖顯示了疫情進程中,潛伏者、傳染者、康復者和死亡的人數情況。我們在如下幾個時間點插入了額外的網格線:(1)在實施社交限制措施的1月23日;(2)1月26日中午,當感染人數達到上限時;和(3)2月3日,即死亡人數最多時。請注意,康復病例數是指不再具有傳染性并且正在恢復的病例。在醫院,此類患者要等一到兩周后才能出院。

兩張并排的圖表顯示了中國湖北COVID-19大流行的發展情況。
湖北疫情的發展。隨著時間的推移,預計受感染的人數將接近 500,000 人。

通過參數估計得出的湖北數據的基本傳染數為 3.03,高于 WHO 的報告,但仍在其他研究報告的范圍內(參考文獻6,7 )。社交限制使有效傳染數降低到約 0.56,這是我們通過擬合死亡曲線獲得的。這個數字低于其他地方的報告,但與當地流行病的迅速結束相一致。

瑞典:保持社交距離

瑞典選擇了與湖北和大多數其他國家不同的策略:限制社交互動,但與湖北實施的完全封鎖相比,還相距甚遠。建模過程與湖北也略有不同,主要是因為其最早的感染和潛伏病例均來自于意大利和奧地利的輸入。我們使用了與冬季假期相關的輸入案件的分布,這些案件在全國不同地區分布了三周。但是,在2月17日至3月1日的兩周內,斯德哥爾摩地區的居民返回家園時,大多數旅行者很可能已受呈指數級增長的意大利爆發疫情感染。

以下是模擬死亡人數與報告的死亡人數比較。4月2日的病例數仍呈指數增長(對數圖中呈線性)。

該圖繪制了瑞典死于 COVID-19 的人數。
瑞典死于 COVID-19 的人數。第 33 天最新報告的值對應于 4月2日。小圖為以對數刻度顯示?y?的相同數據。

通過參數估計得到的瑞典數據,有效傳染數為2.95,接近從湖北獲得的數據(3.03)。輸入病例總數約為500。

自3月16日左右以來,瑞典一直實施社交互動的限制,但主要是以建議的形式出現,可能沒有立即產生效果,因此死亡人數尚未降低。我們在此模型中假設這些限制已于3月20日全面生效。

讓我們假設兩種情況:第一種情況,社交互動限制將有效傳染數減少到基本傳染數的0.35倍;第二種情況,有效傳染數減少到基本傳染數的0.30倍。第一種情況將有效傳染數降低到1.03;也就是說,每個受感染的人平均感染1.03個人。第二種情況將有效傳染數降低到0.88(低于1),這意味著十個受感染者中,只有九個(幾乎)可以在恢復之前“替代”自己(平均)。

兩種情況的限制措施幅度均不及湖北的限制幅度大,這是合理的假設,因為瑞典尚未實施全面封鎖。

在第一種情況下,約有210萬人被感染,約占人口的20%(請參見下圖)。截至4月2日,已感染或已感染的人數將為280,000人,幾乎是確診病例的60倍。第二種情況導致截至4月2日,約有260,000人被感染,但是該流行病的進展速度大大減慢并受阻,導致在流行病消亡之前的某個時候,只有不到一百萬的人被病毒感染。

該圖比較了瑞典采用無社會隔離措施的累計感染 COVID-19 病例的數量。
兩種情況下,瑞典累計感染總人數。這是在整個流行過程中將被感染的所有個人數的總和。

第一種情況下,最終死亡人數超過13,000。另外,嚴重疾病和每日死亡人數的峰值在4月21日達到峰值。如下圖所示,每天的死亡人數將達到155例/天。第二種情況下,最終約有6500人死亡,并且死亡人數在4月15日左右達到峰值,每天約有115人死亡。

兩個并排的COMSOL Multiphysics結果圖預測了瑞典 COVID-19 的發展。

假設3月12日至3月16日左右采取的行動,瑞典的流行病預計發展情況。假設瑞典當局采取行動的效果不及湖北采取的行動有效。

該圖比較了有無社會隔離措施的瑞典COVID-19死亡高峰人數。
在第一種情況下,瑞典的死亡人數將在4月27日左右達到峰值,在第二種情況下,死亡人數將在4月15日左右達到峰值。

只要略微加強“社交距離”,將有效傳染數從1.03降低到0.88時,就可產生巨大變化。這意味著在整個流行病期間,將會減少6500人死亡。

美國:大規模隔離

在我們的研究中,假設美國的所有感染病例均來自國外,則感染個體的數量及其流入美國的數量是可根據當時美國境外感染者的分布情況進行參數估計。我們使用了截至3月31日的死亡人數來進行參數估計。與瑞典和湖北相比,美國的一個特殊問題是該流行病的區域差異更大,而且不同的州在不同時間,采取了不同的行動。

下圖顯示了截至3月31日(圖表31天)的模擬死亡和報告死亡。同樣,在這種情況下,我們看到死亡人數呈指數增長,與對數圖上的線性增長相對應。

該圖比較了美國與 COVID-19 相關的模擬死亡人數與參考數據的比較。
截至3月31日美國的模擬死亡人數和報告死亡人數。請注意,在對數圖中,當死亡人數較小時,模型與報告的病例之間的偏差看起來較大數目下的更大。內嵌圖為以對數標度顯示?y?的相同數據。

通過參數估算得出的美國數據的基本傳染數為 2.97,與瑞典(2.95)和中國湖北(3.03)的擬合值一致。那么,輸入案件的總數將約為 8000 例。

同樣在美國,我們可以假設兩種情況:一種與瑞典的情況類似,社交限制措施將有效傳染數減少到基本傳染數的0.3倍(瑞典的數值),另一種情況將有效傳染數減少到基本傳染數的0.185倍(中國湖北的數值)。這也是合理的,因為美國實施了介于瑞典和湖北之間的限制措施。不是完全封鎖,而是實施了比瑞典更嚴格的大規模隔離。這樣得出的有效傳染數分別為 0.89 和 0.55 。

第一種情況預測,在流行病消亡之前將有近2000萬美國人受到感染(請參見下圖)。到4月1日,受感染人數將達到600萬。在第二種情況下,大約有500萬人受到感染。這大約是所報告的確診病例的25倍,這聽起來還是很高,但并非不可能,因為僅對一小部分人群進行了檢測。

該圖比較了美國兩種不同的社會疏離措施案例的受感染累計數量
兩種情況下,美國累計的感染總數,這是在整個流行過程中將被感染的所有個人的總數。

在第一種情況下,美國的死亡人數為115,000(請參見下圖)。感染人數最多的應該是3月24日左右。重癥監護中的危重病例數將在4月9日。在第二個病例中,與湖北的限制相同,重癥監護患者數將在4月1日左右達到峰值。流行病結束前的死亡人數約為33,000。

兩個并排圖顯示了美國COVID-19疾病的進展
兩種情況下的潛伏者、傳染者,峰值人數和死亡病例,有效傳染數降低至 0.89(第一種情況),有效傳染數降低至 0.55(第二種情況)。

如果人口要遵循兩種不同的社會疏離措施,則為美國COVID-19預計峰值的圖。
根據我們的模型,第一種情況下,美國的死亡人數將在4月15日左右達到峰值;第二種情況下,將在4月9日左右達到峰值。

在第一種情況下,每天的死亡人數將在 4 月 15 日左右達到高峰;在第二種情況下,每天的死亡人數在4月9日左右達到峰值。這分別對應于兩種情況下每天的死亡人數分別低于1900或1300。我們可以看到,第二種情況下,每天的死亡人數更高。而且這個數字還會增加。如果我們將有效傳染數減少到 1.04(減少 0.35 倍),即僅在上述案例1之上,那么在流行病結束之前,我們可能會有350,000 例死亡人數。該模型清楚地顯示了社會限制措施的巨大影響,不僅減少了峰值死亡人數,而且在流行病結束之前,受感染個體的總數也大大減少。

如何使用模型

此處給出的結果不應解釋為預測。它們是來自簡化現實模型的結果。我們不考慮人口統計。例如,人口中的年齡分布對疾病的死亡率有很大的影響。

疫情進展處于不同階段的被研究國家的地理差異也無法得到準確的解釋。人們在一個國家不同地區之間的旅行方式也會影響這一流行病的進展。

此外,我們很難預測中國,瑞典和美國民眾采取的行動對模型輸入的影響。政府組織,例如中國疾病預防控制中心,瑞典公共衛生局和美國疾病控制中心(CDC),擁有更復雜的模型來說明年齡分布,流行病的發生地點,城市之間遷移的數據,國家之間遷移的數據以及其他人口統計數據。他們還擁有有關病毒和疾病本身的更好數據,例如在不同條件和年齡分布下的潛伏時間和繁殖數量。

但是,使用此處介紹的模型仍然有一定的借鑒意義。他們了解這種流行病的發展趨勢。這些模型還直觀地表明了保持社交距離和避免不必要的社交互動,可以降低 COVID-19 的有效傳染數,減少重癥監護患者的高峰期并減少總體流行影響。此外,各國和國際性組織的公共衛生相關部門,可將 Erlang–SEIR 模型作為重要的研究工具,并在此基礎上開發更為細致和專業的數學模型,為各個國家和城市服務。

下載模型和應用文件

通過下面的按鈕下載用于 COVID-19 流行模型的SEIR模型和演示應用程序。請注意,要訪問MPH文件,您必須登錄到 COMSOL Access 帳戶并具有有效的軟件許可證。

參考文獻

  1. H. Weiss, “The SIR model and the Foundations of Public Health”, MATerials MATemàtics, vol. 2013, no. 3, pp. 1–17, 2013.
  2. M. H?hle, “Flatten the COVID-19 curve”, Theory meets practice…, 2020.
  3. W.M. Getz and E.R. Dougherty, “Discrete Stochastic Analogs of Erlang Epidemic Models”, Journal of Biological Dynamics, vol. 12, pp.16–38, 2018.
  4. R. Verity, L.C. Okell, I. Dorigatti, P. Winskill, C. Whittaker, et al., “Estimates of the severity of coronavirus disease 2019: a model-based analysis”, The Lancet Infectious Diseases, 2020.
  5. A.J. Kucharski, T.W. Russell, C. Diamond, Y. Liu, J. Edmunds, S. Funk, R.M. Eggo, “Early dynamics of transmission and control of COVID-19: a mathematical modelling study”, The Lancet Infectious Diseases, 2020.
  6. R. Li, S. Pei, B. Chen, et at., “Substantial undocumented infection facilitates the rapid dissemination of novel coronavirus (SARS-CoV2)”, Science, 2020.
  7. Y. Liu, A.A. Gayle, A. Wilder-Smith, and J. Rockl?v, “The reproductive number of COVID-19 is higher compared to SARS coronavirus”, Journal of Travel Medicine, vol. 27, no. 2, 2020.

 

請注意,這不是同行評審的出版物,也沒有由任何流行病學家準備或與任何流行病學家商量或未根據任何流行病學標準進行準備。此外,未知的各種各樣的情況可能會影響所討論模型的準確性,尤其是關于將來的進展。


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